lunes, 8 de febrero de 2016

Arquímedes

EL ALGORITMO DE ARQUIMEDES

Antes de Arquímedes (287 - 212 a.C.) se sabía que al dividir la longitud de cualquier circunferencia entre la medida de su diámetro siempre salía el mismo resultado, y que el área de cualquier círculo dividida entre el cuadrado de su radio era también una constante. Lo que no se sabía es que las dos razones eran iguales y fue Arquímedes quien lo demostró por lo que ese número común recibió el nombre de "constante de Arquímedes", hoy más conocido como número $\pi$, inicial en griego de las palabras "periferia" y "perímetro". Además a Arquímedes se debe también el primer algoritmo que explica como aproximar $\pi$ tanto como queramos y que fue el único método existente (salvo variantes y equivalencias) durante un periodo de más de 1800 años. Lo que hizo Arquímedes fue aproximar el perímetro del círculo con polígonos regulares circunscritos e inscritos. Un aspecto ingenioso e imprescindible del método es el hecho de ir duplicando el número de lados, lo que permite relacionar sus medidas como vamos a ver a continuación.

ARQUIMEDES DE SIRACUSA

Explicamos con detalle como lo hizo en el caso de polígonos circunscritos. En primer lugar fijémonos que el perímetro de un círculo de diámetro unidad es precisamente el número $\pi$. Arquímedes dedujo, con el Teorema de Pitágoras, que el lado del hexágono circunscrito a dicho círculo era igual a un tercio de la raíz cuadrada de $3$. Luego utilizó la siguiente figura en la que suponemos que CA es la mitad del lado de un polígono circunscrito (ya que es tangente al círculo en el punto A). En esta figura OD es la bisectriz de AOC:


Entonces aplicó el Teorema de la bisectriz de Euclides (325-265 a.C.) y el de Pitágoras (572-497 a.C.) deduciendo las identidades
\[
\large \frac{CD}{CA}=\frac{CA-DA}{DA}=\frac{OC}{OA}, \qquad OA^2=OC^2-CA^2.
\]
Como OA vale $\frac12$ estas igualdades sirven para eliminar OC y obtener una relación entre CA y DA, es decir entre el lado de un polígono circunscrito y el lado del polígono circunscrito de doble número de lados. Aplicando estás relaciones 4 veces seguidas obtuvo los lados de los polígonos circunscritos de 12, 24, 48 y 96 lados y multiplicando 96 por la medida del lado correspondiente obtuvo la aproximación $\pi \approx 3 + \frac17$, que lógicamente es por exceso, es decir $\pi <3+\frac17$. Con otra figura resolvió el mismo problema pero aproximando con polígonos inscritos, obteniendo con el polígono de $96$ lados la acotación $3+\frac{10}{71} < \pi$. Como vemos su demostración sólo utiliza razonamientos de geometría elemental, como no podía ser de otra manera porque en aquellos tiempos no se conocía la trigonometría. Tampoco se conocía la notación decimal ni ninguna otra notación posicional, razón por la que expresó los resultados con fracciones. En notación decimal la aproximación que obtuvo equivale a 3.14.

Referencias: The works of Archimedes

Se desconoce quien fue el primero en escribir el algoritmo en la notación que usamos actualmente: Si $L_n$ representa el lado del polígono regular circunscrito de $n$ lados, resolviendo las ecuaciones correspondientes se tiene
\[
\large L_{2n}=\frac{\sqrt{1+L_n^2}-1}{L_n}, \qquad P_n=n \, L_n \to \pi.
\]
Para el caso de polígonos regulares inscritos, usando la notación $\ell_n$ para el lado correspondiente al polígono de $n$ lados, se tiene:

\[
\large \ell_{2n}=\sqrt{\frac{1-\sqrt{1-\ell_n^2}}{2}}, \qquad p_n = n \, \ell_n \to \pi.
\]
Esta última fórmula recurrente fue redescubierta por Aryabhata, matemático y astrónomo hindú del siglo VI (ver el libro de Zhukov "El omnipresente número pi", pág. 134) . Una demostración todavía más elemental (usa solamente el Teorema de Pitágoras) se debe al escritor Marcos Chicot (ver VIDEO, PDF).


UN ALGORITMO EQUIVALENTE

No es difícil demostrar que las longitudes de los lados $L_n$ y $\ell_n$ guardan la siguiente relación: \[ \large L_n=\frac{\ell_n}{\sqrt{1-\ell_n^2}}, \] ya que la sustitución en la primera fórmula nos permite llegar a la segunda. Teniendo en cuenta esta relación se pudo demostrar que el siguiente algoritmo es equivalente al de Arquímedes: 
\[
\large P_{2n}=\frac{2 P_n \, p_n}{P_n+p_n}, \quad p_{2n}=\sqrt{P_{2n} \, p_n}, \qquad P_n \to \pi, \quad p_n \to \pi,
\]
donde $P_n, \, p_n$ denotan respectivamente los perímetros de los polígonos circunscrito e inscrito de $n$ lados. Sin embargo se desconoce quien fue el primero en demostralo.

Cuando se demostraron las fórmulas trigonométricas de los ángulos doble y mitad este algoritmo se pudo demostrar directamente aplicando dichas fórmulas a las relaciones $P_n=n \tan(\pi/n), \, \, p_n= n \sin(\pi/n)$. 

En muchos libros y artículos, en particular en el mío publicado en La Gaceta de la RSME: "Historia de las fórmulas y algoritmos para $\pi$" (ver PDF) se atribuye este algoritmo a Arquímedes, pero en realidad se trata de una equivalencia de su método.

VAN CEULEN 

Ludolph Van Ceulen (1540-1610) fue un matemático alemán que emigró a Holanda por motivos religiosos. En Leiden, ciudad holandesa en la que vivió, realizó una auténtica proeza de cálculo al aproximar el círculo con polígonos regulares de 2 elevado a 62 lados, es decir 4611686018427387904 lados, empezando con un cuadrado y por lo tanto realizando 60 iteraciones. Estos cálculos le llevaron 20 años de su vida y todos en Leiden están muy orgullosos de su héroe. La aproximación que obtuvo para $\pi$ es correcta, no se equivocó en ningún decimal y tiene 35 dígitos:

3.14159265358979323846264338327950288 

Esta aproximación fue inscrita en la lápida de su tumba y todavía en muchas partes de Europa se la conoce como "Número de Ludolph". La tumba, destruida en el año 1800, fue reconstruida en el año 2000.

LAPIDA DE VAN CEULEN

Pero no pensemos que Van Ceulen era solamente un extraordinario calculista, también fue un gran matemático al que le debemos, entre otras fórmulas, la del coseno del ángulo doble.

EL ALGORITMO DE ARQUIMEDES 
EN LA  ACTUALIDAD 

El algoritmo del genial Arquímedes de Siracusa tiene interés histórico y didáctico, pero hace ya más de 300 años que no resulta útil para el cálculo de los decimales del número $\pi$ puesto que, comparado con algunos otros métodos que iremos explicando en este "blog", es mucho menos eficiente: Aproximadamente 3 decimales correctos cada 5 iteraciones.

Hoy en día es muy importante saber programar. A continuación mostramos un sencillo programa para "Sagemath" que realiza el cálculo de Van Ceulen:

var('P, p')
P=4; p=2*sqrt(2).n(digits=40)
for i in range(60):
     P=2*P*p/(P+p); p=sqrt(P*p)
     print i+1, P.n(digits=40), p.n(digits=40)

Todos los cálculos hay que efectuarlos con la precisión final deseada, en este caso 40 dígitos son suficientes. Pero el ordenador sólo tarda unos pocos segundos en igualar la proeza de Ludolph !

NICOLAS DE CUSA

Nicolás de Cusa (1401-1464) fue un teólogo, filósofo y matemático alemán que impulsó la transición del pensamiento de la Edad Media al Renacimiento y que intentó unificar las iglesias de Oriente y Occidente. 

Su método para aproximar $\pi$ es también de interés histórico y didáctico. La idea es muy ingeniosa: Relaciona los radios y apotemas de dos polígonos regulares del mismo perímetro, uno de los cuales tiene el doble número de lados que el otro. Denotando con $r_n$ y $h_n$ el radio y el apotema respectivamente del polígono de $n$ lados y si el perímetro constante es igual a 2, entonces para $n \to \infty$ tendremos que $r_n \to 1/\pi$. Como el apotema se va aproximando al radio, también el apotema tenderá a $1/\pi$. Las recurrencias que Nicolás de Cusa obtuvo son
\[
\large h_{2n} = \frac{r_n+h_n}{2}, \qquad r_{2n} = \sqrt{ r_n h_{2n}}.
\]
Partiendo de un cuadrado, los valores iniciales se calculan fácilmente aplicando el teorema de Pitágoras y son $h_4=1/4$ y $r_4=\sqrt{2}/4$. Nicolás de Cusa demostró este algoritmo utilizando la siguiente figura:



en la cual si $AB$ es el lado de un polígono regular, $EF$ será el lado de un polígono regular del mismo perímetro pero de doble número de lados ya que $EF=AB/2$. Entonces, dedujo las siguientes relaciones:
\[ \large MC=\frac{MD+MH}{2}, \qquad ME=\sqrt{MD \cdot MC}, \]
la primera de las cuales es inmediata por ser $C$ el punto medio del segmento $DH$, y la segunda resulta de la aplicación del Teorema del Cateto. Finalmente Nicolás de Cusa sólo tuvo que observar que $MD=MA=r_n$, $MH=h_n$, $ME=r_{2n}$, $MC=h_{2n}$.

A continuación mostramos un sencillo programa para "Sagemath" que realiza 60 iteraciones:

var('h, r')
h=(1/4).n(digits=40); r=(sqrt(2)/4).n(digits=40)
for j in range(60):
    h=(h+r)/2; r=sqrt(r*h) 
    print j+1, (1/h).n(digits=40), (1/r).n(digits=40)

(Ver VIDEO)

RECORDS DE CALCULO DE PI (Periodo Arquímedes - Van Ceulen)

Durante el periodo 250 a.C. - 1610 todos los records de cálculo de decimales de $\pi$ se consiguieron con polígonos de n lados haciendo tender n a infinito. Abajo indicamos estos logros con la siguiente notación: País, nombre del matemático, año y (número de decimales correctos calculados).

Grecia, Arquímedes, 250 a.C. (2); China, Liu Hui, 263 (5); China, Tsu Ch'ung Chi, 480 (7); Persia, Al Kashi, 1429 (14); Holanda, Van Ceulen, 1596 (20); Holanda, Van Ceulen, 1610 (35).

1 comentario:

  1. Muy interesante y necesario el blog que has iniciado. Espero ampliar mis escasos conocimientos científicos y a la vez entretenerme, como me ha ocurrido con este artículo. A la vez observo que tratas el tema con la profundidad y rigor necesarios como para que los expertos en esta materia puedan comentar contigo distintos aspectos a propósito de tus investigaciones. Seguiré atenta las nuevas entradas. Charo Serrano.

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